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矩阵与几何变换

单元目标

通过简单、具体的矩阵(二阶方阵),使学生掌握二阶方阵的乘法,明确矩阵乘法表示的是一个变换(如压缩、反射、旋转、切变、投影等)。

从变换的角度让学生了解矩阵乘法的运算律、逆矩阵的意义,以及逆矩阵存在的条件。

以映射的观点理解矩阵与向量的乘法,并能从变换的观点(矩阵表示)认识二元一次方程组的求解问题。

单元内容

1.几何变换与矩阵(4课时)

l         认识矩阵

l         二阶方阵与二维向量的乘法以及几何意义

l         几类重要的几何变换的矩阵表示

2.矩阵与矩阵的乘法(3课时)

l         几何背景

l         二阶方阵与二阶方阵的乘法

l         矩阵乘法的运算律。

3.逆矩阵(3课时)

l         单位阵与零矩阵

l         线性方程组的再认识

l         逆矩阵的定义、性质

4.推广与应用

l         研究性问题,如求一个变换矩阵等

l         一般矩阵

l         应用:密码、图论中的关联阵、生活中(两个顾客、两种商店)。

具体内容与要求

1.                几何变换与矩阵

l         不给出一般m n阶矩阵的定义,只介绍具体的二阶方阵,通过简单的例子使学生掌握二阶方阵左乘二维列向量的运算

l         理解矩阵左乘列向量就是把该向量变换成一个向量

l         通过简单、具体的例子,使学生掌握矩阵与向量乘法。

l         虽然学生很容易掌握二阶方阵与向量的乘法,但是这里不讨论一般二阶矩阵与向量的乘法,只要求对伸缩、反射、旋转、投影、切变等几类矩阵进行讨论。

l         通过大量的练习,使学生认识到矩阵乘法的意义是变换,使学生了解压缩、反射、切变等变换的矩阵表示。

l         只讨论具体的矩阵,如 等,不分析象 等这类字母的矩阵,不在这些地方展开讨论。

l         对上述具体的变换,比如压缩变换阵 可以让学生讨论:x轴上的向量 在这变换下保持不变,y轴上的向量 变换后仍在原来的直线上;而旋转一般说没有这样的向量;切变只有一组这样的向量,等等。不过,不必引进矩阵的特征向量这一概念。

l         作为教师应该清楚,上述讨论的变换,包括了矩阵的所有行初等变换阵,但对学生不应作这方面的要求。

2.  矩阵的乘法

l         通过实例使学生认识到矩阵乘法的意义是几何变换,即使学生了解矩阵乘法的几何背景。

l         二阶方阵与二阶方阵的乘法。

要求通过对向量的两次变换,提出问题:能否用一个变换矩阵表示上述的连续两次变换,从而引进矩阵的乘法定义。熟练掌握两个矩阵的乘法,知道两个二阶方阵相乘的结果仍是一个二阶方阵,并理解它表示了原来两个矩阵的连续两次变换。

l         矩阵乘法的运算律。

要求通过实例,使学生认识到矩阵乘法的实质,即连续进行一系列变换时,交换变换次序得到的结果,一般说会不相同。因此,矩阵乘法不满足交换律。

通过实例,使学生应认识到:有些情形,例如连续两次旋转或连续两次压缩,变换是可以交换顺序的。通过实例,使学生应认识到结合律成立。通过实例,让学生体会到,任意的一个矩阵变换都相当于是连续实施前面所讲过的一些常见的变换,即上述的那些变换是基本的。不过,对这问题不作严格论证,也决不应要求学生把任一个二阶矩阵分解为上述基本变换矩阵的乘积。

3.  逆矩阵

l         单位矩阵和零矩阵。

要求理解单位阵、零矩阵在矩阵乘法中的作用。理解单位阵在矩阵乘法运算中的作用相当于数1在实数乘法中的作用。即对任意二阶方阵A,有AI=IA=A。零矩阵O(它表示什么变换?)在矩阵乘法中的作用相当数0在实数乘法中的作用。即对任意二阶方阵A,有AO=OA=O。

通过具体例子说明,当A O,B O时,可以有AB=O。并能从变换的角度解释这一等式。

要求学生能从具体的例子理解:满足AB=AC的三个二阶方阵A,B,C,既使A O,一般说,也不能由此式推出B=C。并能从变换的角度给予解释。

l         掌握逆矩阵的定义、性质,并能从变换的角度给予理解。

l         从几何上认识一些基本变换矩阵的逆矩阵。

l         会证明逆矩阵的唯一性。

l         从几何上认识到投影阵不存在逆矩阵。

l         只要求从直观上认识到,当矩阵把多个向量变为同一向量时,该矩阵不存在逆矩阵。不从数学上讨论逆矩阵存在的充分必要条件。

l         会证明(AB) =B A 。重要的是能从几何上认识到AB的逆矩阵是B A 。

l         学生应该会证明,当A存在逆矩阵时,由AB=AC(或BA=CA)可推出B=C。特别是当AB=O,且A存在逆矩阵时,有B=O,换句话说,当A,B都有逆矩阵时,一定不会有AB=O。

l         当二阶矩阵存在逆矩阵时,会用解方程组的办法,求它的逆矩阵。

l         用解方程组的办法,求它的逆矩阵并不是人们通常所用的求逆矩阵方法。该方法本身不是我们的重点,只是告诉学生可以有办法求出矩阵的逆矩阵。

l         学生用此方法求逆矩阵时,给出的矩阵应该是可逆的。不要求学生去判断矩阵的可逆性,方程组的可解性等等问题。

l         矩阵A对向量的乘法看作是平面上向量到向量的一个映射,进一步理解已经学过的映射概念。

4.推广与应用

l         可把矩阵的概念推广到3维,n维

l         应用:密码、图论中的关联阵、生活中(两个顾客、两种商店)。

l         会给出二元一次方程组的矩阵表示。并能用变换或映射的观点认识解此方程组的问题。

l         认识到可以通过求逆矩阵的办法来解二元一次方程组。

实施建议:

1.教学建议

l         矩阵作为数学的基本概念与工具有着广泛的应用。但是,在高中课程中不可能作系统的介绍,这里只介绍二阶方阵。特别是不象高等代数中那样,强调矩阵的各种代数运算(这里没有引进矩阵的加法、数乘矩阵等运算)。而是借助平面上的几何图形,强调矩阵是一个变换。通过简单、具体的矩阵,使学生掌握二阶方阵的乘法,明确矩阵乘法表示的是一个变换(如压缩、反射、旋转、切变、投影等)。

l         在通过矩形或三角形顶点的变换来描述整个矩形或三角形的变换的讨论中,暗含承认了“矩阵把直线变成直线”这一事实,它的证明不作要求,学生可通过试验“验证”这一点。“线性变换”这一名称,也不必出现。只要求从变换的角度让学生认识到矩阵乘法为什么不满足交换律(这是中学生第一次遇到不满足交换律的运算),从变换的角度来分析逆矩阵的意义以及为什么逆矩阵可能不存在。

l       鉴于中学在引入函数定义时,已给出了映射的概念,要求以映射的观点来认识一下矩阵与向量的乘法,比较与函数概念的异同。

l       从变换的观点认识二元一次方程组的求解问题。通过该方程组的矩阵表示,认识到其求解的问题相当于是求逆变换(逆矩阵)的问题,从而分析一下解的各种可能(唯一解、无穷多解、无解)。

l         盡可能使用计算机软件(如几何画板、Z+Z几何平台、Matlab)、图形计算器、科学计算器等,展示平面图形的变换过程,简化矩阵的计算复杂性。

l         充分开发教学资源,如利用网络、校外资源等。

2.教材的编写建议

l         注意几何与代数内容的相互结合、相互渗透;

l         把推广与应用作为研究性学习的内容;

l         注意与九年义务教育课程标准相关内容,如几何变换相联系。

3.评价建议

l         可以采用传统作业方式检查学生的学习质量;

l         还可以都讲完了之后再综合提高,让学生提出问题。此时可以把学生提出问题的层次性、宽泛性、深广度作为评价的指标;

l         可以把学生解决问题的水平、质量作为评价的依据。

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